Le paradoxe de Monty Hall dont le nom est tiré d’un jeu télévisé des années 60, concerne la façon dont l’information acquise en cours de jeu modifie (ou pas) les statistiques de gain. Résolu en théorie, la question perturbe tellement notre vision du monde qu’elle continue aujourd’hui encore d’être l’objet de débats passionnés.

Les statistiques semblent, presque par nature, porter un discours positiviste. Elles sont en effet un formidable outil pour tenter de maîtriser la complexité du monde réel… Mais de nombreux « biais » menacent tout discours qui s’y réfère sans précautions : une lecture des chiffres trop simpliste peut nous amener - par exemple - à confondre corrélation et causalité… Et des phénomènes plus complexes (notamment le paradoxe de Simpson) peuvent fausser des conclusions qui semblent pourtant objectives.

Durant des siècles, la géométrie a reposé sur les postulats d’Euclide qui paraissaient éternels et irrévocables. Pourtant, l’un des postulats (le cinquième) a toujours semblé « un peu moins naturel » que les autres et des centaines de mathématiciens ont tenté en vain de s’en passer en le déduisant des autres postulats. Au milieu du XIXe siècle, Bernhard Riemann propose une idée neuve : imaginons qu’il est faux ! C’est l’acte de naissance des « géométries non- euclidiennes » qui connaitront un peu plus tard des applications majeures en physique.

Un pavage c’est une façon de couvrir un plan avec un motif répétitif… En gros, ça revient à créer un papier peint. En 1975, Marjorie Rice (1923- 2017), mère de famille et mathématicienne amateur, lit un article de Martin Gardner dans Scientific American qui liste TOUS les « pavages pentagonaux » possibles dans le plan. Un mathématicien vient justement de prouver que la liste était complète. Sauf que Marjorie, en travaillant toute seule chez elle, en trouve 4 nouveaux… Le théorème était faux !

La question est de savoir comment faire un réseau qui soit à la fois « économique » et « robuste » sans prendre trop de place. C’est une question théorique sur laquelle a travaillé le grand mathématicien russe Andrey Kolmogorov (1903-1987). Mais cette question théorique conditionne aussi la façon dont on peut construire un réseau informatique ou… un cerveau humain : pour être intelligent sans avoir la grosse tête, il faut un réseau de neurones qui soit efficace MAIS AUSSI compact !

On part des cinq « solides platoniciens » bien-aimés des géomètres : le cube, le tétraèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Platon les associait avec les éléments de base de la nature ; Kepler cherchait à les retrouver dans le mouvement des planètes... Mais pourquoi s’arrêter aux 3 dimensions de l’espace ordinaire ? Alicia Boole Stott a consacré sa vie à chercher des solides réguliers en dimension 4… et elle a trouvé ! Il existe un analogue 4-dimensionel de chacun des solides platoniciens. Et puis, il en existe aussi un sixième, l’ « icositétrachore », un animal spécifique à la quatrième dimension. Mentionner Ludwig Schlaflied, Alicia Boole, Charles Hinton…

Formulée en 1611, la conjecture de Kepler concerne la meilleure façon d’empiler des oranges. Qui a dit que les mathématiques étaient trop abstraites ? La conjecture est prouvée par Thomas Hales en 1998… et avec une méthode qui ne plait pas beaucoup à ses collègues parce qu’il découpe le problème en une multitude de cas distincts qu’il traite par de méthodes informatiques. Dans la foulée de ce travail remis en cause par ses pairs, il s’intéresse à la certification des démonstrations mathématiques. En 2016, Maryna Viazovska (1984- ) démontre un « théorème d'empilement » équivalent en dimensions 8 et 24.

"Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?" Derrière le trop célèbre question posée par Edward Lorenz (1917-2008), il y a une théorie mathématique qui passe, dès sa conception par une image spectaculaire : celle des "attracteurs de Lorenz", et qui aboutit à une théorie de ce qui - jusque là - échappait au champ des mathématiques : les systèmes complexes, tels que ceux qui décrivent la météo ou encore... les affaires humaines !

En partant de questions astronomiques (problème des 3 corps, axe de rotation de la Terre...) on arrive aux notions de système stable et de dérivabilité en passant par le personnage de Sofia Kovaleskaya, mathématicienne qui a obtenu, à la fin du XIXe siècle, un résultat important concernant "le mouvement d'un solide autour d'un point fixe".

On entend souvent dire que les algorithmes contrôlent le monde. Mais qu'est-ce qu'un algorithme ? Pour les contemporains l'idée intuitive paraît à peu près clair : un algorithme, c'est ce qui peut "tourner sur un ordinateur". Mais c'est un renversement chronologique, puisque les ordinateurs concrets sont postérieurs, et viennent justement de travaux mathématique abstraits des années 1930. Nous les survolerons en compagnie de Alonzo Church, Jacques Herbrand, Kurt Gödel et Alan Turing.